Ментальная арифметика на чем считают: для чего детей учат считать в уме быстрее калькулятора?

Содержание

для чего детей учат считать в уме быстрее калькулятора?

По мнению школьных преподавателей, способность ребёнка быстро и правильно считать в уме, является одним из признаком наличия математических способностей. Занятия по ментальной арифметике стремительно ворвались в родительский топ развивающих методик.

 В мире насчитывается более пяти тысяч школ, в которых обучают быстрому счёту в уме. У всех, один принципиальный подход, обучение ведётся на специальных механических счётах абак (абакус).

Один из примеров — это русские счёты. Сначала дети учатся считать на абакане, механически передвигая камни, тренируют мелкую моторику рук, затем счеты убирают, ребенок представляет их в голове и считает ментально. Развивает воображение и креативность.

 Согласно рекомендациям специалистов по ментальной арифметике, лучше всего даётся обучение детям в возрасте от 4 до 14 лет. По словам преподавателя одной из таких школ в Краснодаре, Светланы Опихайленко, результат от занятий виден уже с первого месяца обучения. Причём у каждого ребёнка потенциал открывается по-своему.

 «Дети начинают самостоятельно выполнять домашнее задание, родители замечают, что появляется желание учиться. Кто-то начинает лучше читать стихи, кто-то писать математические диктанты, кто-то показывает результаты в спорте. Некоторые вовремя быстрого ментального счёта ещё рассказывают стихи. По окончанию курса, а он длится два года, у детей формируется глубокие, устойчивые нейронные связи, которые направлены на развитие всех видов памяти: зрительная, слуховая и фотографическая. У застенчивых ребят появляется эмоциональный интеллект, они перестают бояться выходить к доске, выступать перед классом», — рассказала интернет-порталу «Россия.Кубань» Светланы Опихайленко, преподаватель ментальной арифметики.

  


Разные инновационные методики всегда вызывают не только положительные, но и отрицательные оценки. Некоторые педагоги, как и ученые, не спешат превозносить ментальную арифметику.

По словам заслуженного учителя России Леонида Звавича, устный счет — дело полезное, но есть масса приемов устного счета без абака и какой из них лучше, сказать сложно.

В беседе с ТАСС педагог рассказал, что успехи ребенка в математике зависят прежде всего от того, какие у него были учителя, а любые развивающие занятия помогают подтянуть разные школьные предметы.

«Если человек идет в школу, зная 100 стихотворений, он учится лучше, чем человек, который не знает ни одного», — считает Звавич.


 Безусловно, все дети разные, поэтому нельзя быть уверенным на 100% в том, что данная методическая система подойдёт абсолютно каждому.

Чем отличаются ментальная и классическая арифметика?

И может ли один предмет заменить другой?

Некоторые родители считают, что ментальная арифметика — это разновидность классической, той, что преподают в школе. Что на занятиях менар детей учат считать и вообще обращаться с числами. На самом деле, это не совсем так.

Репетитор

Ответ на вопрос в заголовке совершенно однозначный: нет, эти два предмета не взаимозаменяемы. Слишком сильно отличаются и цели, и методики преподавания, и результат. Но в чем же все-таки разница? Давайте разберемся!

— Во-первых, возраст. Классическая арифметика как наука о числах и счете зародилась очень и очень давно. Еще во третьем – втором тысячелетии до нашей эры люди ощутили потребность делать измерения и выражать их результат количественно, то есть, на языке чисел.

Ментальная арифметика куда «моложе». Ее возраст — около 5 тысяч лет. Когда в Китае изобрели счеты (потомок которых нам сейчас известен как абакус или соробан), люди принялись использовать новомодный инструмент для облегчения операция с числами. А современная ментальная арифметика и того новее — популярной она стала где-то в конце XX века. Сейчас в Японии и Китае она входит в общеобразовательную программу.

Репетитор

— Во-вторых, методика. Обычная, школьная арифметика учит работать с цифрами и числами. Дети учатся складывать и вычитать, умножать и делить. Они запоминают правила и алгоритмы. В основном, все действия совершаются на бумаге, в тетради. Это готовит к более сложным задачам, которые изучаются уже в рамках алгебры.

В ментальной арифметике главный инструмент — соробан. Или флеш-карты, на которых изображаются костяшки соробана. Дети сначала работают со счетами, а затем начинают вычислять в уме.

Репетитор

— В-третьих, влияние на мозг. Хотя несведущему человеку может показаться, что и там, и там идет взаимодействие с числами, задействуются разные полушария мозга. Классическая арифметика направлена, в основном, на развитие логического и рационального мышления, за которые отвечает левое полушарие.

А вот ментальная обращается еще и к воображению, поэтому правое полушарие тоже активно работает. Это позволяет тренировать обе «половинки» нашего мозга одновременно.

— В-четвертых, результат. Обычная арифметика учит выполнять различные действия с числами. Ментальная, плюсом к этому, отлично прокачивает память и внимательность, а еще учит быстро считать в уме, что очень полезно.

Противопоставлять эти две дисциплины нельзя, но можно попробовать изучать обе и сравнивать результаты. Если классическую арифметику преподают в школе, то на занятия менар вы можете записаться в репетиторский уентр Школа на Дому.

А ваши дети любят математику?

Плюсы и минусы занятий ментальной арифметикой: мнение педагога

Менталка дает детям больше, чем отнимает?

Представьте, что ваш ребенок прыгает через скакалку и одновременно решает сложнейшие  длинные примеры из пяти-десяти трехзначных слагаемых. Думаете это невозможно? А вот и нет. Ментальная арифметика – это не какая-та магия, это супертренировка для мозга. И у нее, как и у любой тренировки, есть свои плюсы и минусы.

О том, какие «за» и «против» есть у этой методики нам рассказывает преподаватель  ментальной арифметики SmartyKids Пушкино Александра Письман.

Плюсы ментальной арифметики

Развитие мелкой моторики

Ребята учатся считать на счетах (абакусе), а косточки там очень мелкие. Рекомендованный возраст для начала занятий ментальной арифметикой – это четыре с половиной, пять лет.

Многие дети, которые приходят к нам, сталкиваются с трудностями, именно из-за несовершенства этого навыка.

Абакус – это отличная тренировка. Ведь чем лучше развита мелкая моторика, тем быстрее идет освоение счета. А результаты видны невооруженным взглядом уже после нескольких занятий.

Быстрый счет и скорость мышления  

Дети, которые учатся считать ментально, одной левой могут сделать своих родителей. А регулярные занятия и домашние задания этому способствуют. Примеры становятся все больше, их глубина возрастает. Обычно педагог начинает с трех слагаемых, но постепенно  их количество увеличивается до 5-10 и т.д.

Главное: дети видят, что у них все получается! Они радуются успехам, а это самая лучшая мотивация, чтобы считать еще быстрее, еще более сложный пример.

Развитие межполушарных связей

Ментальный счет дает нам гармоничное развитие межполушарных связей.

Правое полушарие отвечает за воображение и помогает представить картинку абакуса, а левое отвечает за логику и участвует в решении примеров.  Так что на занятиях ментальной арифметикой мозг трудится на все 100%, причем полушария не просто дружат, а взаимодействуют ежесекундно.

Растет успеваемость в школе

Большинство детей приходят на занятия ментальной арифметикой в дошкольном возрасте. И за полгода они достигают отличных результатов в счете не только единиц, но и двузначных, трехзначных чисел. Школьная программа в этом плане отстает. Так что естественно, что дети, которые владеют навыками ментального счета, справляются со школьной математикой за считанные секунды. А развитое внимание, мышление и умение концентрироваться помогают в легком освоении и остальных школьных предметов.

Многозадачность

Ребята, которые осваивают менталку, могут считать примеры и одновременно  читать стихи или петь песни. А уж ментальный счет во время физических и  акробатических упражнение – это и вовсе простенький фокус.

Смешение разных видов деятельности: физической и умственной или двух разных видов умственной деятельности – это супер тренировка для мозга.

Весь секрет в доведении ментального счета до автоматизма. И тогда эта деятельность становится привычной рутиной, не отнимает много сил, а значит их можно потратить на что-то еще. Отличный навык, который можно с успехом применять и во взрослой жизни.

Справка: Александра Сергеевна Письман. Окончила РЭУ им. Плеханова, преподаватель, стаж работы по методике ментальной арифметике 3 года.  

Минусы ментальной арифметики

Путаница со школьной программой

Все школьные программы по математике плюс минус похожи. Весь первый класс дети учатся работать с числами в пределах десяти, то есть с единицами и осваивают понятие состав числа.

Важный момент: школьная программа базируется на составе числа 10. А вот сумма косточек на спице единиц на абакусе  — 9. Из-за этого у ребят, которые, положим, совместили начало школы и занятия менталкой, могут возникать определенные трудности.

Если ментальной арифметикой начали заниматься позже (после третьего класса, например) или наоборот еще в дошкольном возрасте, никаких сложностей, как правило, не возникает.

Скорость решения приводит к невнимательности

Когда ты решаешь в уме длинные сложные примеры, твое внимание концентрируется именно на этом, а не написании ответа. И бывает, что какая-то цифра в ответе теряется.

На каждом занятии ментальной арифметикой ребята решают примеры на скорость. У них есть строго ограниченные временные рамки. И скорость написания цифр за минуту тоже очень высока.

Весь урок дети находятся в состоянии тонуса. Логично, что в школе этот тонус сохраняется. Вот только не все, к сожалению, умеют за собой проверять.  Ну и сюда же можно отнести момент не очень аккуратного написания цифр. Но на русский язык это никак не распространяется. Цифры отдельно – грамматика отдельно.

Скучно в школе

Это, наверное, самый страшный и большой минус, но он увы свойственен любым методикам, которые поднимают мышление на новый уровень.  

В школе надо расписывать решение, следить за оформлением. Две клеточки слева, четыре клеточки вниз. Это рутинная кропотливая работа, очень медленная. Она никак не сочетается с той скоростью, с которой ребята, овладевшие ментальной арифметикой, считают примеры в уме.  Это просто скучно для них.

Опережение логического мышления

Представьте себе ситуацию, когда папа, окончивший мехмат, пытается объяснить второкласснику принцип решения уравнений. Поверьте, на это лучше не смотреть. Все будет очень сложно, и частенько неверно.

На занятиях ментальной арифметикой ребята быстро добиваются отличных результатов в счете двузначных и трехзначных чисел. И когда планка возрастает до тысяч, то при возвращении к простым примерам у ребенка иногда бывает ступор: «Как это здесь получилось всего 22».

На занятиях ментальной арифметикой всегда есть куда стремиться:  считать быстрее, чем сверстники, решать быстрее, чем ты сам в прошлый раз.

В школе в этом плане более постепенный темп, не обязывающий ни к каким достижениям.

Занятия ментальной арифметикой прокачивают мозг, учат полушария взаимодействовать на постоянной основе, развивают воображение, мышление, логику и память. Нужны они или нет? Это решать только вам.

Ментальная арифметика

ЧТО ДАЕТ МЕНТАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

За творчество и логику у человека отвечают разные полушария мозга. Много десятилетий, а то и столетий, люди спорят — а что важнее? Какое полушарие главнее и несет больше ответственности? Идеальный вариант — гармоничное развитие, которое позволяет научиться быстро считать, читать, мыслить творчески и нестандартно, а также в короткие сроки принимать правильные решения.

ЧТО ТАКОЕ МЕНТАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА
 Ментальная арифметика – это уникальная методика, позволяющая за счёт быстрого устного счета развить одновременно два полушария головного мозга. Данная программа даёт прекрасный результат для активизации мозга и его гармоничного развития.

 Ментальная арифметика пришла к нам из Древнего Китая. Позже она переместилась в остальные страны Азии, где сейчас является частью обязательной школьной программы. Постепенно этот курс завоевал весь мир, ведь он делает из детей настоящих гениев.

 Ментальная арифметика позволяет с помощью специальной техники устного счета и абакуса (древних счетов, которые можно смело называть самым первым калькулятором на планете), выработать навыки, которые являются основой для дальнейшего успешного обучения в школе и в университете.

КАК ПРОХОДИТ ОБУЧЕНИЕ
Методика ментальной арифметики разработана таким образом, чтобы заниматься могли разные возрастные группы детей. У каждой из этих групп своя адаптированная программа, но основной инструмент, с помощью которого происходит обучение, один и тот же — абакус. Кроме того, все тренировки проводятся с использованием современной интеллектуальной онлайн-платформы.

Почему в ментальной арифметике все дети легко и быстро считают? Все просто!
 Ребята считают количество, просто мимолетом посмотрев на косточки. Ответ не надо запоминать. Его надо видеть.
 Косточки можно двигать бесконечно (длинные примеры) и только окончательный ответ переводить в число. Нет промежуточных ответов, поэтому это невероятно быстро.
 Для решения примеров достаточно понять, как выглядят на абакусе числа от 0 до 9, понять состав числа 5 и 10 и все: можно решить любой пример!

Очень важно, и преподаватель предупреждает об этом и детей, и родителей на самом первом занятии, чтобы дети регулярно выполняли домашние задания. Это занимает не больше 15–20 минут в день, однако значительно улучшает качество обучения и ускоряет процесс. Наличие современной онлайн-платформы делает процесс тренировок очень интересным для ребенка. Ему не нужно работать только с тетрадью или книгой, как в школе. Достаточно включить ноутбук, планшет или компьютер, зайти в специальную программу под своим именем и можно тренироваться сколько угодно!

Причем мы бы рекомендовали сначала выполнить задание по ментальной арифметике, а уже потом приступать к домашним заданиям из школы, потому что мозг после таких тренировок работает действительно иначе, и позитивные изменения будут заметны уже через очень небольшой срок.

БЛАГОДАРЯ ОБУЧЕНИЮ ВАШ РЕБЕНОК СМОЖЕТ
Результаты того, что дает ментальная арифметика ребенку, не заставят себя ждать долго: уже через 1–2 месяца занятий дети начинают считать на воображаемом абакусе со скоростью, которая значительно превышает скорость взрослых. Одновременно со счетом постепенно учатся выполнять простые спортивные упражнения, читать стихотворения, петь или танцевать. Таким образом, гармоничное развитие обоих полушарий происходит в достаточно высоком темпе.

Что дают занятия ментальной арифметикой:

 улучшается концентрация внимания;
 развивается фотографическая (моментальная) память;
 развивается точность и скорость реакции на поставленную задачу;
 появляется и развивается воображение и представление;
 развивается творческое мышление;
 развивается многозадачность — у ребенка формируется навык, направленный на одновременное выполнение нескольких действий.

Юные оскольчанки достойно представили наш город на турнире по ментальной арифметике

Устно решить длинный пример с трехзначными числами не всегда под силу даже преподавателям математики. А вот оскольчанки Влада Коновалова и Даша Плотникова в свои десять лет считают в уме не хуже, чем на калькуляторе. Девочки успешно осваивают ментальную арифметику.

Десятилетние Влада Коновалова и Даша Плотникова —  очень занятые: ходят на теннис, учатся игре на фортепиано, увлекаются английским. Словом, талантливы во всем. Год назад занялись изучением ментальной арифметики. Теперь юные оскольчанки вычисляют многозначные примеры устно и в считанные секунды.

Я умею складывать, вычитать, умножать однозначные, двухзначные, трехзначные, четырехзначные числа. Мне в школе это помогает. На контрольных работах я могу считать по-разному: или ментально, или как учили. Когда мы считаем ментально, мы в голове у себя представляем абакус и пальцами считаем: складываем, вычитаем, умножаем числа.

— Владислава Коновалова и Дарья Плотникова.

 

Абакус — это счеты. Их придумали в Китае еще пять тысячелетий назад. Ментальная арифметика — это система развития детского интеллекта. Она построена на обучении быстрому счету в уме по древней методике. Родители отмечают, что такое развитие идет детям на пользу.

Стали меньше затрачивать времени на уроки. Ребенок, быстрее она стала запоминать все. Логическое стало развиваться лучше, то есть восприятие информации. Да, и как бы вот это бонус приятный, когда ребенок может посчитать быстро. Это не математика, это развитие интеллекта ребенка, то есть активация одновременной работы двух полушарий мозга. Классическая система обучения, она поочередность включает работы нашего мозга. А здесь как бы получается, что сразу вкупе все работает.

— Мария Коновалова, мама Влады.

 

Даша и Влада стараются подкреплять свои умения и на соревнованиях. Недавно они вернулись из Санкт-Петербурга, где проходил открытый турнир по ментальной арифметике «Кубок Пифагорки». 183 участника от 5 до 16 лет соревновались в счете. Из Центрального Черноземья были только две оскольчанки.

В возрастной категории «10–11 лет» участвовало более 40 участников. Первый этап у них проходил флэш-счет, где цифры менялись каждую секунду. Во втором этапе они считали на абакусе. 180 примеров надо было посчитать за 25 минут. И третий этап проходил: счет ментально. Так же 180 примеров в их категории было, но за 15 минут надо было их посчитать. Наши детки показали большие результаты.

 Анжела Плотникова, мама Дарьи.

 

По итогу девочки достойно представили наш город: из ста баллов Даша набрала 94,4, а Влада — 90. Сейчас юные счетоводы готовятся к очередному конкурсу. Он пройдет в Воронеже в марте 2019-го года.

Ментальная арифметика — формула интеллекта для детей

Ментальная арифметика — это способ развития интеллекта у детей. Педагоги, которые практикуют занятия, учат детей быстро считать в уме по нестандартной схеме. Эта техника развивает у ребёнка воображение и логику, тренирует память и учит быстро справляться со сложными примерами.

На уроках биологии говорили, что левое полушарие отвечает за логику и анализ, а правое — за интуицию и воображение. Образование в начальной школе упирается на изучение точных наук. А время на танцы, рисование и музыку выделяют по остаточному принципу. Именно с 4 до 12 лет ребёнок находится в фазе, когда у его активно развиваются клетки мозга. Ежедневные занятия на уроках не помогут раскрыть весь потенциал малыша. Программа ментальной арифметики направлена на развитие устойчивых нейронных связей левого и правого полушария. Именно поэтому, лучше всего начинать занятия с детьми раннего возраста.

С ребятами занимаются раз в неделю в группах по несколько человек и 15 минут в день по коротким домашним упражнениям. Чтобы полностью освоить технику необходимо 2 года постоянных занятий. В первый год детей обучают быстрому сложению и вычитанию, а на втором — умножению и делению.

Для того чтобы заинтересовать детей, уроки проводятся в игровой форме. Преподаватели стараются завлечь ребёнка и дать ему мотивацию к тренировкам. На занятиях у детей формируется мелкая моторика, пространственное и логическое мышление. Уроки обучают ребят делать арифметические действия с помощью визуализации процесса.

Многие родители считают, что большие результаты ребёнок достигнет после первого занятия. Но это не так, как правило первые успехи после уроков ментальной арифметики заметны после 2 — 3 месяцев.

Занятия ментальной арифметикой могут научить ребёнка работать с шестизначными числами за несколько секунд. Конечно, сложно представить, где понадобиться подобный навык. Но как утверждают преподаватели курсов, быстрый счёт — это не цель, а приятный бонус. Вместе с математическими способностями, ребёнок развивает усидчивость, концентрацию, память, воображение и творческое мышление.

Каждый ребёнок уникален, а эта методика поможет раскрыть его полный потенциал. Чадо научится быстро усваивать информацию, формулировать мысли и делать выводы. Не бойтесь пробовать что-то новое, развивайте своего ребёнка и посмотрите, каких высот он сможет достигнуть.

Мы ВКонтакте: «Скородум»
Наш номер телефона: +7 (930) 710 90 17

Если Вы заметили ошибку в тексте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter, чтобы отослать информацию редактору. Спасибо!

Просмотр статьи — Ментальная арифметика Натальи Пчеляковой

Мифы об обучении

В последнее время мне часто задают вопрос: «Можно ли научиться считать ментально за месяц?»

Если Вы верите в сказки, то скорее всего поверите, что ментальную арифметику можно освоить за месяц. В некоторых школах ментальной арифметики обещают, что после нескольких занятий ребенок научится быстро считать в уме. И ведь многие верят в это! На самом деле используется простой трюк- дети считают без «законов ментальной арифметики»- выглядит эффектно, но кроме эффекта по сути ничего и нет. То есть используются специальные простые примеры без переходов, в которых нет никакой сложности и просто нарабатывается скорость. При этом ребенок может сложить 2+2; 1+3 и 1+1, но вот 7+6 уже не может, почему? Потому что не знает правил и законов. Это не приносит никакой пользы, и ребенок так и не научился решать любые примеры. Наша программа разработана таким образом, что ребенок сначала проходит ВСЕ законы ( а их 26!), а потом начинает отрабатывать скорость. Поэтому стоит задуматься, сколько времени нужно, чтобы пройти все законы? Считайте сами: если взять самый оптимистичный вариант, допустив, что на каждый закон ребенок потратит хотя бы одно занятие ( а может и более!), то только на законы уйдет 26 занятий. Разделив 26 на 8 занятий в месяц, мы получим 3 с лишним месяца только на изучение законов! Все еще верите, что ребенка из рекламы научили считать за месяц? Тогда добавьте еще времени дошкольникам, которые не знают цифр и не умеют их записывать. Это кропотливый труд, научить маленького ребенка считать ментально! А эффектная реклама рассчитана только на тех, кто не разбирается. Поэтому нет смысла платить за эффекты, гораздо разумнее платить за пользу.

Как проходят такие занятия в Японии, например? Никто не спешит научиться этому за три дня. Ни для кого не секрет, что МА в таких странах включена в школьную программу и рассчитана на весь срок обучения. Навык основательно отрабатывается за многие годы. Страна гениальных высоких технологий потрясает количеством умов на 1 квадратный метр японской земли. Наш метод построен так, что ребенок не заучивает, а каждый раз решает заново — именно это и развивает мозг. Кстати, здесь родителям нужно быть внимательными при выборе школы. В России эта методика только начинает развиваться, и некоторые школы ещё не уловили суть метода и учат детей зазубриванию! Каждый ребенок осваивает программу со своей скоростью, и в этом тоже уникальность нашей методики — нет уравниловки. На освоение сложения и вычитания в среднем требуется 6-12 месяцев ( зависит от возраста и индивидуальных особенностей ребенка). После этого идет работа над умножением и делением. Следующий этап- сложные арифметические действия ( дроби, степени, корни и отрицательные числа). Наши занятия проходят 2 раза в неделю по 1 часу и плюс небольшие домашние задания по 10-15 минут в день. В структуру занятий входит работа на счётах, на ментальной карте, на специальных компьютерных тренажерах, решение примеров в тетради и на слух, а так же дополнительные упражнения на развитие зрительной памяти, логики и внимания.

Те школы, которые занимаются с детьми 1 раз в неделю и заваливают детей ежедневными домашними заданиями, просто перекладывают свою работу на родителей.

Учет рабочей памяти при решении арифметических задач

Вычисление в уме — важный повседневный навык, включающий доступ к хорошо изученным процедурам, решению проблем и рабочей памяти. Хотя существует активная литература по усвоению понятий и процедур для ментальной арифметики, относительно мало известно о роли рабочей памяти в этой задаче. В этой статье сообщается о двух экспериментах, в которых использовалась методология двойного задания для изучения роли компонентов рабочей памяти в умственном сложении.В эксперименте 1 мысленное сложение двузначных чисел, предъявляемых на слух, значительно нарушалось одновременным генерированием случайных букв и, в меньшей степени, одновременным подавлением артикуляции, но не нарушалось одновременным движением рук или предъявлением нерелевантных изображений. Хотя количество ошибок увеличилось с двумя из двойных задач, неправильные ответы, как правило, были довольно близки к правильному ответу. В эксперименте 2 числа для добавления были представлены визуально.Здесь снова случайная генерация вызвала наибольшее нарушение умственной арифметической производительности, в то время как меньшее количество нарушений наблюдалось для артикуляционного подавления, движений рук и без присмотра слуховых представленных двузначных чисел. Общий уровень производительности был лучше, а абсолютный размер разрушительных эффектов, продемонстрированных при визуальном представлении, был очень мал по сравнению с эффектами, обнаруженными при слуховом представлении. Этот образец результатов согласуется с ролью центрального исполнительного компонента рабочей памяти в выполнении вычислений, необходимых для умственного сложения, и в выдаче приблизительно правильных ответов.Зрительно-пространственные ресурсы рабочей памяти также могут быть задействованы в аппроксимациях. Данные подтверждают точку зрения о том, что субвокальный репетиционный компонент рабочей памяти обеспечивает средство поддержания точности ментальной арифметики, и это соответствует аналогичному выводу, сделанному из предыдущей работы по счету. Будут обсуждаться общие выводы о роли рабочей памяти в решении арифметических задач.

Добавление и расчет для наших блестящих детей 10

Как научить детей складывать и считать?

Для обучения детей математике используются различные стратегии ментальной математики.Эти различные умственные математические стратегии используются, чтобы облегчить ребенку весь процесс сложения или вычитания. Стратегия ментальной математики, которую мы предлагаем в этом видео, заключается в том, чтобы научить детей считать и складывать. Подсчет и сложение просты и легки, когда числа маленькие, но они могут быть немного сложнее, когда числа немного больше.

Как рассчитывается этот метод сложения?

Есть три разных шага, через которые ребенок пройдет: определение большего числа, разделение меньшего числа и использование фрагментов для подсчета.Каждый их шаг помогает ребенку понять весь процесс шаг за шагом, вместо того, чтобы заблудиться на полпути, не понимая, что делать.

Первый шаг определения большего числа связан с одной важной причиной: помнить это большее число и считать меньшее, даже если это будет с помощью пальцев.

Второй шаг , связанный с разбиением числа на части, важен, поскольку облегчает его пересчет на пальцах или в уме.Третий и последний шаг заключается в объединении этих разделенных чисел для получения окончательного ответа.

Сложение и счет для детей

Для детей используются разные математические стратегии, но разделение считается одной из самых известных.

Кроме того, размещение или порядок чисел не являются обязательными, как вычитание, и поэтому дети могут переупорядочить уравнение, чтобы сохранить большее число в начале и не запутаться, делая это в уме, а затем начать считать. меньший после шагов, которые будут рассмотрены.

Приведите пример, чтобы ребенку было легче его понять. Предположим, что нужно решить уравнение 43+21. Как ребенок справится с ним в соответствии с только что объясненной нами ментальной математической стратегией?

Прежде всего, малыш отберет большее число, которое равно 43, и отложит его в сторону и запомнит. Вторая часть разбивает меньшее число, равное 21, на десятки и единицы, так что это будет 20 и 1.

Последний и третий шаг заключается в объединении этих фрагментов, чтобы получилось 43+20=63 и 63+1=64.Это подводит нас к окончательному ответу всего уравнения: 43+21=64.

Говоря о тех различных стратегиях мысленной математики, которые там обнаружены, есть переупорядочение и разбиение, умственный трюк с вычитанием разбиения и удаления, подсчет по стратегии, которая используется с вычитанием, сложение, работающее над разрядностью, и многое другое. которые помогают сделать сложение и вычитание намного проще для ребенка.

Поскольку это называется ментальной математической стратегией, родители должны понимать, что дети могут начать с записи своих ответов на листе бумаги или даже со счета на пальцах, но в конечном итоге они должны прийти к тому, чтобы выполнять все эти различные вычисления. мысленно, не возвращаясь к записи ни одного из них.

Практика важна, когда дело доходит до обучения, поэтому продолжайте пробовать эту стратегию ментальной математики со своими детьми несколько раз, прежде чем решить, хороши они в ней или нет. Дети учатся в разном темпе, и некоторым может потребоваться больше времени, чем другим, когда речь идет о новых методах и стратегиях, поэтому родители никогда не должны беспокоиться, потому что в конечном итоге они узнают то, чему их учат, все, что им нужно, это много практики.

Всегда говорите с ребенком по шагам, чтобы он понял, что вы делаете, и в то же время обучайте его словарному запасу и терминологии, которые впоследствии облегчат ему задачу, например, дайте ему понять, что сложение — это то же самое, что и счет. на, плюс, объединение и т.д.чтобы они не запутались в середине пути и успели выбрать в конце наиболее легкий для них термин.

Если вы хотите хорошо складывать, вы должны хорошо знать разрядное значение. Давайте узнаем значение места:

Place Value

Что такое Place Value?

Разрядное значение – это значение цифры в зависимости от ее положения в числе, включая единицы, десятки и сотни.

Какие натуральные числа?

Это счетные числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9…, они используются для счета.Натуральные числа включают все положительные целые числа, но не включают 0,

.

Единицы

Они считаются наименьшим натуральным числом.

34 7

Здесь 7 — наименьшее натуральное число «Единицы».

Десятки

Значение десятков больше единиц. Это вторая цифра слева. Это числа больше 9, такие как 10, 11, 12, 13…..99.

3 4 7

Здесь 4 десятки.

Сотни

Значение сотен больше десятков. Это третья цифра слева. Это числа больше 99, такие как 100, 101, 102, 103, ….999.

3 47

Здесь 3 сотни.

Давайте потренируемся:

  1. Разрядное значение 3 в 3 65 равно…… Сотни …”300”. «……
  2. Значение места 9 в 53 9 равно……. Единицы …”9”……
  3. Разрядное значение 1 в 1 54…… Сотни …”100”. это…… Десятки …”50”……
  4. Место 8 в 18 равно……. Единицы …”8”……
  5. Разрядное значение 6 в 8 6 8 …… Десятки …”60”……
  6. Разрядное значение 4 6 9015 в 4 это…… Сотни ….«400».
  7. Позитивное значение 7 в 5 7 6 равно…… Десятки …”70”……
  8. Позитивное значение 2 в 2 ”35 равно…… Сотни … ”20011

Запись разрядного значения «Расширение числа»

  1. 426 = ..400..+..20..+..6..
  2. 63 = ..60..+..3..
  3. 897 = ..800. .+..90..+..7..
  4. 54 = ..50..+..4..
  5. 493 = ..400..+..90..+..3..

Расчет в математике: определение и стратегия

Важность

Возможность считать, начиная с любого числа, важна по двум основным причинам. Одна из причин заключается в том, что он показывает, насколько хорошо учащийся понимает числовой порядок. Например, когда учащиеся используют , механически считая или считая по порядку, учителя не могут на самом деле определить, насколько хорошо они понимают порядок чисел. Каждый день Салли может считать от 1 до 20, не пропуская ни одного числа.Может показаться, что Салли понимает, какое число идет первым, следующим и так далее, пока не достигнет 20. Настоящее испытание наступает, когда учитель просит Салли начать с числа 7 и считать до 20. Если Салли знает только свои числа, начинающиеся с 1, она действительно не уловила числовой порядок.

Еще одна причина, по которой важно рассчитывать, заключается в том, что это начальные шаги в обучении студентов тому, как складывать. Если Тони понимает, что после числа 11 идут 12, 13, 14 и так далее, у него есть основания вычислять 11 + 3 = 14.Пока учащиеся не поймут числовой порядок, им может быть трудно понять, как складывать.

Преподавание концепции

Одна из стратегий, которую учащиеся должны понять перед тем, как считать, заключается в том, чтобы определить, какое число больше при сравнении двух чисел. Определение подсчета гласит, что подсчет начинается с наибольшего числа и продолжается. Если Эмили не сможет определить, какое число, 3 или 7, больше, концепция подсчета будет затруднена.Учителя могут помочь учащимся понять, какое число больше, используя модели. Если учитель Эмили покажет ей 3 мяча и 7 мячей и спросит, какой из них больше, Эмили, скорее всего, сможет выбрать 7 мячей. Затем учитель объяснял, что больше означает, что число больше. Установление этой связи между словарными словами поможет учащимся, когда они будут определять наибольшее число.

После того, как учащиеся поймут, как определить наибольшее число, следующим шагом будет обучение тому, как считать или прибавлять второе число к первому.Учитель должен устно напомнить учащимся всегда начинать с наибольшего числа, потому что это значительно облегчит счет, поскольку второе число меньше первого. Если учитель спросит Билли, сколько будет 2 + 8, Билли должен сначала признать, что 8 — большее число, а затем он может добавить еще два, чтобы вычислить, что ответ равен 10.

Краткое содержание урока

сложив два числа, вы начинаете считать с наибольшего числа и прибавляете к нему второе число.Это важный умственный математический навык, который мы используем каждый день. Чтобы учащиеся могли правильно использовать эту технику, они должны понимать порядок чисел, а также уметь определять, какое число больше.

9 математических трюков и игр для учащихся

Ментальная математика углубляет понимание учащимися фундаментальных математических понятий. Кроме того, знание того, что они могут выполнять вычисления в уме где угодно, не полагаясь на карандаши, бумагу или манипуляторы, дает учащимся чувство успеха и независимости.Как только учащиеся изучают математические приемы и приемы в уме, они часто могут найти ответ на математическую задачу за то время, которое им потребуется, чтобы достать калькулятор.

Вы знали?

На ранних этапах изучения математики использование математических манипуляций (таких как бобы или пластмассовые счетчики) помогает детям визуализировать и понимать взаимно однозначное соответствие и другие математические понятия. Как только дети усвоят эти понятия, они будут готовы приступить к изучению ментальной арифметики.

Умственные математические трюки

Помогите учащимся улучшить свои навыки ментальной арифметики с помощью этих математических приемов и стратегий. С помощью этих инструментов в своем наборе математических инструментов ваши ученики смогут разбивать математические задачи на управляемые и решаемые части.

Разложение

Первый прием, разложение, означает просто разложение чисел в расширенную форму (например, десятки и единицы). Этот трюк полезен при обучении сложению двузначных чисел, так как дети могут разлагать числа и складывать одинаковые числа.Например:

25 + 43 = (20 + 5) + (40 + 3) = (20 + 40) + (5 + 3).

Студентам легко увидеть, что 20 + 40 = 60 и 5 + 3 = 8, в результате чего получается 68.

Разложение или разбиение также можно использовать для вычитания, за исключением того, что самая большая цифра всегда должна оставаться нетронутой. Например:

57 – 24 = (57 – 20) – 4. Итак, 57 – 20 = 37, а 37 – 4 = 33.

Компенсация

Иногда учащимся полезно округлить одно или несколько чисел до числа, с которым легче работать.Например, если студент прибавлял 29 + 53, ему было бы легче округлить 29 до 30, и в этот момент он мог бы легко увидеть, что 30 + 53 = 83. Тогда он просто должен убрать «лишнее». 1 (который он получил, округлив 29), чтобы получить окончательный ответ 82.

Компенсацию можно использовать и с вычитанием. Например, при вычитании 53 — 29 учащийся может округлить 29 до 30: 53 — 30 = 23. Затем учащийся может добавить 1 от округления, чтобы получить ответ 24.

Сложение

Еще одна ментальная математическая стратегия для вычитания — сложение.С помощью этой стратегии учащиеся составляют следующую десятку. Затем они считают десятки, пока не достигнут числа, из которого вычитают. Наконец, они вычисляют оставшихся.

Используйте задачу 87 – 36 в качестве примера. Учащийся должен сложить до 87, чтобы мысленно вычислить ответ.

Она может прибавить 4 к 36, чтобы получить 40. Затем она будет считать десятками, чтобы получить 80. Пока что ученица определила, что разница между 36 и 80 составляет 44. Теперь она добавляет оставшиеся 7 единиц из 87 (44 + 7 = 51), чтобы вычислить, что 87 – 36 = 51.

Двойной

Как только учащиеся изучат двойные числа (2+2, 5+5, 8+8), они смогут использовать эту базу знаний для ментальной арифметики. Когда они сталкиваются с математической задачей, которая близка к известному факту двойников, они могут просто добавить двойники и скорректировать.

Например, 6 + 7 близко к 6 + 6, что, как известно учащемуся, равно 12. Тогда все, что ему нужно сделать, это добавить лишнюю 1, чтобы получить ответ 13.

Ментальные Математические Игры

Покажите учащимся, что математика в уме может быть увлекательной с помощью этих пяти активных игр, идеально подходящих для младших школьников.

Найди цифры

Напишите на доске пять чисел (например, 10, 2, 6, 5, 13). Затем попросите учащихся найти числа, соответствующие утверждениям, которые вы дадите, например:

  • Сумма этих чисел 16 (10, 6)
  • Разница между этими числами 3 (13, 10)
  • Сумма этих чисел 13 (2, 6, 5)

Продолжайте с новыми группами чисел по мере необходимости.

Группы

Получите удовольствие от учеников в классах K-2, практикуя ментальную арифметику и навыки счета в этой активной игре.Скажите: «Соберитесь в группы по…», а затем введите математический факт, например 10–7 (группы по 3), 4 + 2 (группы по 6) или что-то более сложное, например 29–17 (группы по 12).

Встать/сесть

Прежде чем давать учащимся математическую задачу в уме, попросите их встать, если ответ больше определенного числа, или сесть, если ответ меньше. Например, попросите учащихся встать, если ответ больше 25, и сесть, если ответ меньше. Затем произнесите: «57-31.”

Повторите с большим количеством фактов, сумма которых больше или меньше выбранного вами числа, или каждый раз меняйте номер стойки/сидения.

Номер дня

Каждое утро записывайте число на доске. Попросите учащихся предложить математические факты, которые равны числу дней. Например, если число равно 8, дети могут предложить 4 + 4, 5 + 3, 10 – 2, 18 – 10 или 6 + 2.

Старшим учащимся предложите придумать предложения для сложения, вычитания, умножения и деления.

Математика бейсбола

Разделите учащихся на две команды. Вы можете нарисовать бейсбольный ромб на доске или расположить столы так, чтобы получился ромб. Назовите сумму первому «бьющему». Учащийся продвигает одну базу за каждое числовое предложение, которое она дает, равное этой сумме. Меняйте команды каждые три или четыре игрока, чтобы дать всем возможность сыграть.

Что такое ментальная арифметика? | Лучшие мозги

Быстро! Сколько будет 4 раза по 4?

16? Это верно! Теперь, как вы пришли к этому решению? Вы выполнили уравнение в уме, 4+4+4+4? Или вы просто знали правильный ответ? Это пример умственной арифметики , и мы используем ее каждый день, от определения времени до платежей и чтения рецептов.Математика окружает нас повсюду, и чем раньше мы освоим математические навыки в уме, тем легче нам будет решать более сложные уравнения.

Итак, что такое «умственная арифметика»? Умственная арифметика относится к математике, которую мы делаем в уме , простым вычислениям, которые мы запоминаем, поэтому нам не нужны карандаш, бумага или калькулятор, чтобы свести правильный ответ в таблицу. Математика металлов также может помочь нам разбить более сложные уравнения на более мелкие части для более быстрого расчета. Изучение ментальной арифметики укрепляет как нашу долговременную память , так и нашу рабочую память .Сильная рабочая память помогает детям сосредоточиться на задаче и быть организованным, как воображаемый блокнот.

Развитие математических способностей в уме начинается в очень раннем возрасте . Дети дошкольного возраста учатся определять числовые символы от 0 до 9, а также начинают развивать свое чувство числа , чтобы понять, что представляют собой эти символы. По мере того, как дети продвигаются в своем образовании, их умственная математика расширяется до базовых сложений и вычитаний, умножения и деления от 0 до 12, преобразования дроби в десятичную и т. д.Каждая концепция строится на себе, чтобы расширить банк знаний ребенка.

Помимо развития важных жизненных навыков , развитие сильных математических способностей в уме имеет важное значение для прогресса ребенка в образовании. Чем раньше ваш ребенок перестанет считать на пальцах и будет делать простые вычисления в уме, тем раньше он сможет перейти к более сложным задачам. Программа ускоренного обучения должна включать обучение умственной математике , чтобы держать детей в курсе!

Итак, как вы можете поощрять математику в уме дома ? Вот несколько предложений!

  • Еда и приготовление пищи: От подсчета порций до деления пиццы и пирогов на кухне полно математики! Используйте таймеры и часы, увеличивайте или уменьшайте рецепты, подсчитывайте ингредиенты и делите порции.Приготовление пищи и выпечка вместе с детьми превращают математику в удовольствие!
  • Игрушки и игры: Кто сказал, что математика не может быть веселой? Считайте игрушки во время уборки, используйте кубики Lego для обучения основам геометрии и играйте в настольные игры и игры в кости, чтобы закрепить математические знания. 3-2-1-ВЕСЕЛЬЕ!
  • Музыка и танец: Ритм — это то, как наши тела делают математику! Считайте удары в любимых песнях вашего ребенка, включайте аплодисменты и копируйте танцы из музыкальных клипов или Tik Tok. Музыка и танцы способны укоренить математику в сердце вашего ребенка.

Это всего лишь несколько идей для изучения. Хотите больше помощи? Свяжитесь с настоящими учителями математики , чтобы помочь вашему ребенку в его образовательном путешествии.

Скоростная математика — лучшие методы быстрого счета в уме



Не знаю, когда я понял, что люблю считать в уме — возможно, после того, как я бросил школу и мне больше не нужно было заниматься математикой «зарабатывая на жизнь». Странно, у меня не развилась любовь к истории и географии одновременно!

Я не знаток чисел: если вы попросите меня умножить 172 на 47, ответ не сорвется с языка.Это займет у меня несколько ударов, и вполне может быть, что с первой попытки, если я устал. Напротив, есть молниеносные люди-калькуляторы, которые мгновенно выдадут вам произведение двух трехзначных чисел. А есть вундеркинды (такие как Даниэль Таммет), которые совершают еще более экстраординарные подвиги. Тем не менее, по повседневным меркам, мои вычисления в уме выполняются довольно быстро, поскольку они используют ряд простых приемов, на которые я наткнулся, когда был маленьким. Например, для вопроса 172 умножить на 47 я могу заметить, что 47 близко к пятидесяти (47 минус 3), и решить сначала вычислить 50 умножить на 172 (либо взяв пятьдесят процентов от 172, т.е. половину, т. е. 86, и умножив на 100, т. е. 8600; или разбив его на 5×100 = 500, 5×70 = 350, 5×2 = 10, суммируя 860, умноженное на десять = 8600). Затем я вычитал 3 раза 172 (51 x 10 + 6 = 516), получая 8084 за несколько (долгих) секунд.

Услышав о молниеносных человеческих калькуляторах, упомянутых выше, мне всегда было любопытно, как к ним приходят ответы. Были ли они аутичными учеными, получившими ответы из эфира? Похоже, так было с некоторыми из них.Были ли они «гениями» со сверхбыстрым умом, которые использовали вычислительные трюки гораздо большей мощности, чем мои собственные маленькие трюки? Казалось, это более распространенный случай.

Сокровище: Книга Артура Бенджамина
Одним ясным зимним днем, когда мне было за сорок, мне в руки в нужный момент попала книга: « Secrets of Mental Math » Артура Бенджамина и Майкла Шермера. Это книга с довольно непривлекательной обложкой, но многообещающим подзаголовком: Руководство математика по расчету молний и удивительным математическим трюкам .Книга выполняет свое обещание. Если у вас есть хотя бы отдаленный интерес к повышению скорости вычислений в уме, я настоятельно рекомендую вам приобрести себе экземпляр, потому что эта книга — настоящее сокровище.

Прочитав первые главы, я с восторгом осознал, что главный автор (Артур Бенджамин) использовал многие из тех приемов, на которые я сам случайно наткнулся. Это, конечно, не было случайностью, а скорее закономерным результатом параллельного процесса исследования. Было не только приятно читать знакомые описания того, кто бродил по тем же джунглям, но также было ясно, что этот исследователь был намного смелее меня.Он ходил по путям, к которым я никогда не подходил (таким как вычисление кубов и квадратных корней), у него было множество крутых приемов, о которых я никогда не думал, и он был очень-очень очень быстр. В самом деле, если бы это не разрушило мою метафору исследователя довольно уродливым образом, я бы сказал, что Артур Бенджамин казался Тарзаном чисел.

Для меня книга Артура Бенджамина появилась в прекрасное время, так как я заметил, что в последнее время некоторые числа начали доставлять мне проблемы, с мешающей привязкой к 24-часовому времени, что никогда раньше не беспокоило меня.Например, число 13 (которое также означает 13:00) время от времени становилось «размытым» в моем сознании, если вы можете это понять. Этот печальный упадок заставил меня начать сожалеть о моем коротком этапе экспериментов с галлюциногенами несколькими годами ранее. С другой стороны, это могло быть простым следствием возраста или снижения числовой активности. Конечно, немного упражнений пошло бы мне на пользу.

Методы, которые имеют смысл
Что мне нравится в Secrets of Mental Math , так это то, что каждая техника, представленная Артуром, «имеет смысл».Я имею в виду, что для меня все его методы вписываются в знакомый алгебраический контекст, так что каждый метод можно легко расшифровать, проверить и понять. Другими словами, он говорит числа на моей собственной длине волны.

Это контрастирует со многими приемами «арифметики скорости», которые я читал на многочисленных веб-страницах при изучении темы, приемами, которые часто кажутся слишком изолированными, слишком произвольными, слишком лишенными контекста, чтобы щелкать способами, которые стимулировали бы удержание. Возможно, в этом и заключается разница между тем, кто предлагает рецепт, которого он не понимает, и человеком, который экспериментировал с техникой до такой степени, что овладел ею.

Примечания к классу
Я намереваюсь использовать эту страницу в качестве «заметок для занятий», где я суммирую советы, приемы и приемы вычисления в уме, о которых я не знал, чтобы я мог легко освежить свою память в любое время. Делясь этими заметками, я надеюсь, что некоторые из этих трюков могут пощекотать нервы нескольким исследователям, которые отважатся отправиться в те же джунгли. Чтобы предоставить более полезный ресурс, на странице также показаны методы, которые использует Артур, которые давно мне знакомы, но, возможно, не вдаваясь в подробности.

Но помните, это только конспекты занятий. Они не включают в себя богатую оригинальную презентацию, личность учителя, упражнения, которые помогают вам превращать идеи в знания. Для меня эта книга — сокровище, и я не могу достаточно настоятельно рекомендовать вам взять экземпляр — если не для вас, то для кого-то из ваших детей или племянников. Независимо от того, проходите ли вы стандартный тест, сидите на совещании, делите счет в ресторане или выполняете проект по обработке дерева, простота вычислений в вашей голове — это секретное оружие, которое не так уж сложно приобрести и которое делает прекрасный подарок для ребенка, любящего числа.

План очень длинной страницы
Чтобы помочь вам сориентироваться, позвольте мне объяснить структуру страницы. Первые два раздела (которые составляют основную часть содержания) посвящены «знакомым методам» и «новым методам». Это различие, вероятно, не имеет для вас смысла, поскольку то, что ново для меня, может быть вам знакомо. Он предназначен только для того, чтобы помочь мне быстро найти материал, который я когда-нибудь захочу просмотреть. Тем не менее можно найти определенную логическую последовательность от «знакомого» к «новому».

Далее мы переходим к тому, что я бы назвал техниками второго уровня, не потому, что им не хватает силы, а потому, что я, вероятно, не буду их использовать.

Далее мы кратко поговорим о математических фокусах. Артур называет себя «математиком» и устраивает развлекательные шоу для самых разных аудиторий. Артур объясняет свои уловки в книге. Меня не очень интересуют фокусы, поэтому я не делал конспектов для этой части книги, за исключением одного очень классного алгоритма для вывода кубического корня из двузначного целого числа, которое было возведено в куб.

Далее мы уделим некоторое время обсуждению простого способа вычисления дня недели любой даты. В этом разделе я попытался улучшить метод, описанный Артуром, представив несколько замечательных вычислительных способов. Я также представляю еще одну известную технику «дня недели», которая может извлечь выгоду из моего сокращения, делая ее намного проще в использовании, чем обычно, и предоставляя вам два варианта на случай, если вы влюбитесь в эти удивительно простые техники… Ты мог бы!

Затем мы рассмотрим другие книги по быстрой арифметике и в заключение дадим несколько ссылок.

Подводя итог, вот схема:


И так, без лишних слов, окунемся в мир быстрой ментальной математики.

Знакомые техники

Чтобы обеспечить некоторую структуру, в этом разделе я суммирую несколько техник, которые долгое время были частью «хлеба с маслом» моих умственных вычислений и которые Артур ясно объясняет в своей книге.

Слева направо
Как и я, Артур считает в уме слева направо.Например, возьмем числа 84 и 53. Если бы вы складывали или умножали их на бумаге, вы бы начали с последних цифр (4 и 3), но в уме вы начинаете с левой. Вот примеры того, как это работает.

• Сложение: 84 + 53 = 13 (8 плюс 5 слева), за которыми следует 7 (4 плюс 3) = 137. Для такой маленькой операции я бы либо пошел большими порциями, со 134 (84 + 50) плюс 3 или «увидеть» ответ.

• Умножение: 84 x 53 = 4 240 (80 x 50 + 80 x 3) + 212 (4 x 53) = 4 452.Мы могли бы «инвертировать» 84 и 53: 4200 (50 х 84) + 252 (3 х 84) = 4452.

• Вычитание: 84 — 53 = 3 (8 минус 5), затем 1 (4 минус 3) = 31.

• Деление: 168/3 = 150/3 + 18/3 = 56. 84/53 также работает слева направо: 1 выходит 31/53 (1+31/53), а 31/53 снова работает слева направо.

Это правило слева направо не означает, что вы строго разбиваете каждое число слева направо. Вам могут прийти в голову другие сокращения, которые заставят вас разбивать числа, с которыми вы работаете, на более крупные куски.

Округление
Это метод, который я упоминал во введении, когда для вычисления 172 x 47 мы округляем 47 до 50. Часто бывает проще оперировать числом, которое вы округлили в большую или меньшую сторону, чем складывать или вычитать разницу. Например,

• Сложение: 49 + 77 = 127 (50 + 77) минус 1 = 126;
• Умножение: 49 x 77 = разбивается на 50 x 70 = 3500, 50 x 7 = 350, в сумме получается 3850 минус 77, что равно 3750 (3850 минус 100) плюс 23 (разница от округления 77), что дает 3773;
• Вычитание: 77 — 49 = 27 (77 — 50) плюс 1 = 28.
• Деление: 196 / 4 = (200 / 4) — 1 = 49.

Билл Хэндли рассказывает о некоторых других методах округления, которые я постоянно использую.

Дополнения
Этот метод развивает метод округления еще дальше. У меня никогда не было для него названия, но имя Артура имеет смысл. Например, для двузначных чисел вы можете «округлить» 37 до 100, чтобы вычесть быстрее, а затем добавить разницу, 63. Вот как это работает: чтобы вычислить 414 минус 37, вы делаете 314 (400 — 100). и прибавьте обратно 63, получив 377.

Разница между 100 и числом (в случае двузначных чисел) Артур называет дополнением. Я давно заметил, что все эти дополнения прочно укоренились в моем сознании. Например, если вы скажете 34, мне не нужно вычислять дополнение (66). Это делает многие задачи на вычитание намного быстрее.

Если вы много работаете с числами в голове, то в голову часто приходят трехзначные (или более длинные дополнения). Например, для 1200 минус 625 я инстинктивно прибавлю 375 к 200, что даст 575.

Обратите внимание, что в случае 1200 минус 375 дополнение 625 может всплыть и дать вам 200 + 625 = 825, но сначала вам может прийти в голову конкурирующий метод 800 (1200 минус 400) плюс 25 = 825. Никогда не знаешь, какая стратегия бросится в глаза первой.

У Артура есть классный способ вычитания с дополнениями еще быстрее.

Выбор метода
Для меня часто значительная часть вычислительного времени тратится на выбор метода, особенно если есть два привлекательных метода, конкурирующих за внимание.Для некоторых проблем вы получаете результат, анализируя, для других лучше прыгать на первую попавшуюся атаку.

Использование аппаратных операций
Иногда вам приходит в голову, что проблема близка к зашитой в вас операции, и вы можете этим воспользоваться. Например, для 4 умножить на 127, вместо умножения слева направо, я замечаю близость к 4 х 125 (запрограммировано как 500), поэтому я просто добавляю 8 (четыре раза по два, так как два — это то, насколько далеко 127 лежит от 125).Результат: 508.

Использование коэффициентов
Часто вам приходит в голову, что число является произведением других чисел. Например, 18 — это трижды шесть. Это часто дает вам альтернативный, более быстрый метод для вычисления чего-либо.

• Умножение: для 16 х 18 можно вычислить 16 х 3 (48) умножить на 6 = 288.
• Деление: для 120/15 вы можете вычислить 120/3 (40) разделить на 5 = 8. Или, заметив ноль в конце 120 и 5 в конце 15, вы можете умножить на два, чтобы получить ноль появляется и справа: 240/30.Когда вы упрощаете это до 24/3, что дает 8, вы используете множители, не задумываясь об этом: вы делите 30 на 10 x 3 и начинаете с деления 240 на десять, первый множитель.

Этот пример показывает, что иногда при делении вы умножаете, чтобы вызвать появление общего множителя. По сути, действует правило «все, что работает». Другие примеры:

• чтобы разделить на 16, я часто делю на 2, четыре раза подряд.
• чтобы умножить или разделить на 12½, я бы обработал это число как 100/8, умножив на 100 и разделив на 8, или наоборот.Я думаю, вы могли бы назвать это обратным факторингом .

Работа с коэффициентами часто экономит ваше время. Например, в задаче на умножение, такой как 16 х 18, с помощью факторного метода мы просто умножаем дважды, тогда как при классической операции слева направо нам пришлось бы дважды умножить , а затем прибавить (10 х 16 = 160, 8 x 16 = 128, 160 + 128 = 288), или умножьте дважды , затем вычтите (20 x 16 = 320, 2 x 16 = 32, 320 — 32 = 288).

Запоминаемые дроби
Помню давным-давно тот день, когда, скучая в классе, я задался целью запомнить все дроби с делителями до девяти и числители до девяти тоже.

Например, 1/9 = 0,111 повторения, 2/9 = 0,222 повторения и так далее. Это оказалось чрезвычайно полезным. Однажды я оказался на ужине, где нам пришлось разделить счет на семь человек. Запомнив схему для дробей от семи, я получил удовольствие от объявления результата: 23,4285714… К сожалению, деление на семь встречается не так уж часто.

Приятно было видеть, что Артур использует одни и те же заученные дроби. В книге даже перечислены дроби от 11, которые я когда-то выучил, но забыл из-за неиспользования, поэтому я перечисляю их в разделе новых техник.

• Доли 9 — все произведения 0,1111… (последняя цифра повторяется). Например, 6/9 равно 0,6666… ​​Это может пригодиться, если вы делите 120 на 18 и замечаете, что 18 равно 2, умноженным на 9. Вы мгновенно упрощаете до 60/9, что дает вам 6,6666… ​​

• Дроби от 8. Разве вы не используете их все время? 0,125 для одной восьмой, 0,375 для трех восьмых, 0,875 для семи восьмых… Те, что между ними, встречаются не так часто, потому что они упрощаются до одной четверти, одной половины и трех четвертей.

• Доли 7.Я люблю это. Одна седьмая равна 0,142857, затем эти числа повторяются: 0,14285714… Все дроби от двух седьмых до девяти седьмых используют один и тот же шаблон, начиная с другой цифры. Чтобы узнать, какая цифра, просто умножьте начало (14) на числитель. Две седьмых = 0,28571428… Три седьмых = 0,42857142… Четыре седьмых = 0,57142857… Пять седьмых = 0,71428571… Шесть седьмых = 0,85714285…

• Доли 6. Они встречаются постоянно. Одна шестая равна 0,1666… (повторяю). Пять шестых это 0.8333… (повторяет). Те, что между ними, составляют трети или половину.

• Дроби от 5. Они также встречаются постоянно. Деление на пять — это то же самое, что умножение на два и деление на десять, так что просто используйте рефлекс «умножить на два». Например, на три пятых вы идете два раза по три, так что это шесть баллов. Одна пятая — 0,2, две пятых — 0,4, три пятых — 0,6, четыре пятых — 0,8.

Проверка, делится ли число на 3
Этот трюк я помню со школы и постоянно им пользуюсь.Чтобы проверить, делится ли число на 3, вы просто складываете все цифры, и если результат делится на 3, то делится и исходное число. Например, для 817 273 вы получите 28, что не делится на 3. (По повторению, если вы не уверены, делится ли ваш результат на 3, продолжайте добавлять цифры: для 28 вы получите 10.) с другой стороны, вместо 817 272 вы получите 27, что делится на 3, и действительно, 817 272 — это трижды 272 424.

На самом деле, для многих чисел я не заморачиваюсь, добавляя все цифры: я игнорирую цифры, которые уже кратны 3, ищу пары, которые в сумме дают 3, игнорируя и их, а затем добавляю оставшиеся цифры.Например, для 6 817 273 я игнорирую 6, игнорирую пару 8-1, игнорирую пару 7-2 и не учитываю последние 3, оставляя 7.

Мне нравится этот трюк, но есть и другие! Артур предлагает другие трюки, которые я либо забыл, либо никогда не знал, чтобы проверить делимость на другие числа.

Умножение двузначных чисел на одиннадцать
Это любимый трюк учителей начальной школы. Чтобы умножить двузначное число (например, 42) на одиннадцать, нужно сложить две цифры (4 + 2 = 6) и вставить их посередине: 462.Если вам нужно перенести (в 49 x 11 4 + 9 дает 13), добавьте единицу к первой цифре: 49 x 11 = 539.

Вы можете умножить более длинные числа на 11, но для меня это не работает умственно, поэтому я не использую это. Я считаю, что мне лучше обратиться к бумаге: например, для 87 657 умножить на 11 я напишу число один раз, затем напишу его снова, сразу под первым числом, но сместив его на одну колонку влево, а затем сложу два числа. . Конечно, это именно то, что делает классическое умножение.

Обратная сторона конверта
Артур большой любитель предположений. Я тоже.
Например, возьмем 7896 и 4099.

• Сложение: сколько будет 7896 плюс 4099? Не знаю, но около двенадцати тысяч (8000 + 4000).
• Умножение: сколько будет 7896 умножить на 4099? Я не знаю, но это близко к 32 миллионам (8000 x 4000).
• Деление: сколько будет 7896 на 4099? Не знаю, но близко к двум (8000/4000). Если бы я хотел уточнить приближение, которое, как я знаю, слишком велико для двух счетов (первый 7896 меньше 8000, второй 4099 больше 4000), глядя на пропорцию между 4000 и 4100, я мог бы сказать, что добавление десяти процентов до 4000, то есть в знаменателе 4400 будет удалено около десяти процентов ответа (0.2), поэтому с 4100 я бы снял только четверть этого (0,05), получив примерное число 1,95, что немного ближе к фактическому ответу (1,926).

Проверка результатов
• Добавление: при добавлении длинных списков номеров мне нравится добавлять второй раз снизу вверх.
• Деление: иногда вам может понадобиться умножить результат на делитель, чтобы убедиться, что вы снова встали на ноги.

Позже мы рассмотрим другие приемы, которые использует Артур: выбрасывание девяток (которое я не использовал со времен средней школы) и выбрасывание одиннадцати.

Новые методы

В этом разделе представлены методы, которые я изучил из книги.

Умножение ближайших чисел: метод привязки
Допустим, вы хотите умножить близлежащие числа, например, 62 на 63. Вы заметили, что оба числа близки к шестидесяти. Разбив его на части, если мы запишем 62 как 60 + 2 и 63 как 60 + 3, проблема будет (60 + 2) x (60 + 3), что сводится к 60 x (60 + 2 + 3) + 2 x 3.

Если это заложено в вас, то когда вы видите 62 х 63, вы переходите сразу к 60 х 65 плюс 6 = 3906.Аккуратный!

Другой пример: 84 х 87 = 80 х 91 + 28 = 7 308.

С помощью этого метода вы ищете удобную «привязку» для изменения порядка умножения. В первом примере (62 х 63) колышек был 60; во втором примере (84 х 87) колышек был 80.

Этот «метод привязки» окупается во многих ситуациях. Например, если вы хотите умножить трехзначные числа с нулями в середине, например 105 и 106, вы быстро получите 100 x 111 + 30 = 11 130.

Метод становится еще проще, когда сумма последних цифр равна десяти.Например, для 62 x 68 вы переходите сразу к 60 x 70 + 16 = 4216.

Билл Хэндли, специалист по технике «близких чисел», применяет ее даже в тех случаях, когда числа вовсе не рядом. В конце концов, распределение работает независимо от того, близки числа или нет, поэтому вы можете использовать любую привязку, которая вам нравится. Например, для 75 х 25 Билл использует 5 в качестве привязки, что дает (5 х 95) + (70 х 20). В обзоре книги Билла я также покажу его вариант метода привязки для таких случаев, как 23 x 87, где вы можете взять 20 в качестве привязки и 4 в качестве множителя.

Если вы действительно бдительны, вы можете найти привязку, когда ближайшие числа:

• под круглым числом: 58 x 59 = 60 x 57 + 2 = 3422. Это упрощение (60-2)x(60-1).
• по обе стороны от круглого числа: 57 х 62 = 60 х 59 — 6 = 3534. Это упрощение (60-3)x(60+2).

Исходные числа для умножения (например, 188×190) дают в сумме ту же сумму (378), что и новые числа для умножения (200×178), и это может быть полезно для быстрой проверки того, что вы умножаете правильные числа, или даже как ярлык для получения второго числа, которое нужно умножить.

Если вы еще более бдительны, вы можете преобразовать некоторые задачи в задачу с соседними числами. Например, для 105 x 412, используя коэффициент 2, вы изменяете задачу на 210 x 206, что дает вам 200 x 216 + 60 = 43 260. Для 104 x 927, используя коэффициент 3, вы изменяете задачу на 312 x 309, что дает вам 300 x 321 + 108 = 96 408.

Возведение в квадрат методом колышков
• «Легкий» особый случай: числа, оканчивающиеся на 5 (например, 75). Для двузначного числа возьмите первую цифру, умножьте ее на старшую цифру (7 x 8 = 56), прикрепите 25 в конце: 5625.2 = (a — b) x (a + b), причем при вычислении 38-квадрата a = 38 и b = 2.

• Трехзначные номера. Метод тот же. На этот раз мы находим ближайшее кратное 100. Например, для квадрата 211 ближайшее кратное равно 200, а число «на другой стороне» равно 222. Произведение равно 44 400, к которому прибавляется квадрат расстояния (11 квадратов равно 121), что дает 44 521.

Аппроксимация квадратных корней
Этот метод был откровением. Мы рассмотрим его для квадратных корней двузначных чисел, но он работает и для больших чисел.Прежде чем мы рассмотрим алгоритм, вот общая идея. Мы пытаемся придумать близкое приближение. Возьмем 50. Мы знаем, что 7-квадрат равен 49, а 8-квадрат равен 64, поэтому ответ должен быть между 7 и 8, а 7 дает ближайший квадрат. Теперь рассмотрим 50/7. Поскольку 7 меньше нашей цели (квадратный корень из 50), это число (50/7) больше цели. Другими словами, наша цель находится где-то между 7 и 50/7. Возьмите среднее из двух: это наше приближение. Один из способов расчета среднего: (7 + 50/7) / 2 = 7.07. Другой способ — сказать, что среднее равно 7 плюс половина разницы, т. е. 7 + (50/7 — 7)/2, т. е. 7 + (50 — 49)/14, или 7 + 1/14.

Таков алгоритм: взять число, которое дает ближайший квадрат. Затем добавьте начальную ошибку, деленную на удвоенное начальное приближение.

• Пример 1: квадратный корень из 90. Ближайший квадрат равен 9 (9 в квадрате равно 81). Ошибка 9 (90 — 81). Наше окончательное приближение: 9 + 9/18 = 9,5.
• Пример 2: квадратный корень из 78.Снова ближайшее приближение равно 9. Ошибка равна -3 (78 — 81). Наше окончательное приближение равно 9 — 3/18, что равно 9 — 1/6, что равно 8 + 5/6 (если вы считаете, что быстрее добавить пять шестых к восьми, чем удалить одну шестую из девяти) = 8,83.

Насколько точен этот метод? Для чисел от 10 до 99, сравнивая аппроксимацию, округленную до второго десятичного знака, с фактическим квадратным корнем, округленным до второго десятичного знака, восемьдесят раз разница составляет 0,01 или меньше, восемь раз — 0,02, один раз — 0.03 (для 20) и один раз 0,04 (для 12). Для меня это очень очень хорошо.

Кстати, чтобы улучшить свою аппроксимацию, вы всегда можете взять вторую аппроксимацию и повторить процедуру, добавляя новую ошибку, деленную на удвоенную аппроксимацию.

Артур не упоминает об этом, но я обнаружил, что этот метод можно легко преобразовать в процедуру вычисления кубических корней , хотя вычисления не так просты. Вот как это работает. Вы берете первую оценку и кубируете ее.Ваша вторая оценка будет исходным приближением плюс начальная ошибка, деленная на удвоенное число в квадрате приближения. Обратите внимание, что по сравнению с алгоритмом оценки квадратных корней «квадрат» в делителе является единственным изменением.

Моя идея этой адаптации метода квадратного корня была вдохновлена ​​​​приложением к книге Билла Хэндли (обзор ниже), где он представляет свой алгоритм для оценки кубических корней. Оба эквивалентны, конечно. Кстати, с чего вы начинаете — какова ваша первоначальная оценка? Билл указывает, что вы берете тройки цифр, начиная справа, и заменяете каждую из них нулем.Вам остается от одной до трех крайних левых цифр. Для вашего приближения вы берете ближайший куб целых чисел от 0 до 9. Их всего десять, некоторые из которых вы уже должны знать, а остальные вы запомните, если заглянете в удивительный трюк Артура (недалеко ниже) для получение кубических корней из полных кубов двузначных целых чисел. (0 ⇒ 0, 1 ⇒ 1, 2 ⇒ 8, 3 ⇒ 27, 4 ⇒ 64, 5 ⇒ 125, 6 ⇒ 216, 7 ⇒ 343, 8 ⇒ 512, 9 ⇒ 729.)

В моем обзоре книги Билла Хэндли я также упомяну его советы по вычислению квадратных корней из более длинных чисел.Ключевой трюк заключается в том, что при вычислении квадратного корня каждая пара цифр, начинающаяся справа, будет уменьшена до десяти (десять в квадрате равна сотне), за исключением крайнего левого префикса из одной или двух цифр. Используя обычный метод, вы оцениваете квадратный корень из этого одно- или двухзначного префикса, а затем корректируете шкалу в десять раз.

Быстрое вычитание с дополнениями
Ранее мы говорили о дополнениях. Напомним, что в случае двузначного числа, такого как 41, дополнением является расстояние от числа до сотни (здесь 59).Мы уже видели, как дополнения можно рассматривать как форму метода округления, который может ускорить вычитание. Например, для 214 минус 41 вы удаляете 100 (114) и добавляете дополнение к 41 (59), что дает 173.

Артур представляет еще один метод, который никогда не приходил мне в голову и который может быть еще быстрее. Для 214 минус 41, опять же, вы знаете, что ответ будет сто с чем-то. В остальном вы вычисляете 41 минус 14 (27) и находите дополнение (73), снова получая 173. Это algaebrical немедленно, но никогда не приходило мне в голову.

Что быстрее? Это зависит. В данном случае близко. В первом методе вы находите дополнение, а затем добавляете его. Во втором методе вы вычитаете, а затем находите дополнение. Если у вас выскакивает вычитание, как в 44 минус 22, то скорее второй способ быстрее. Например, в 122 минус 44 вторым методом мы переходим от 22 (разность) к 78 (дополнение и ответ), тогда как в первом методе мы переходим к 56 (дополнение), а затем прибавляем его обратно к 22, чтобы получить ответ. найти 78.

Умножение крест-накрест
Это отличный способ быстро умножать числа любого размера с помощью ручки и бумаги. Я не буду объяснять это, потому что мне не хочется рисовать диаграммы. Объявление отличный повод купить книгу!

Разделительный
Артур отмечает, что при мысленном делении полезно сначала выяснить, сколько цифр будет в ответе. Например, для 357/8 ответ состоит из двух цифр, потому что 100 было бы слишком большим (8 x 100 = 800).Итак, когда вы начнете слева с 35 и обнаружите, что 4 работает (4 x 8 = 32), вы можете начать говорить «сорок»… Далее, 37 — это остаток, так что вы можете сказать «четыре». Затем вы можете продолжить с 50 и объявить «целая шесть» (6 x 8 = 48) и так далее. (Или, в этом случае, идите прямо к деньгам, разделив 50 на 2 три раза подряд.)

Артур также предлагает этот отличный трюк. Допустим, вы хотите вычислить 230 на 24. С помощью этой техники вы можете сразу увидеть, что 230 на 24 равно 9 + 14/24, и продолжить решение задачи оттуда.Как вы это видите? Во-первых, десять раз 24 равно 240, чуть больше 230, поэтому десять — это первое целое число над целочисленной частью нашего ответа, и наш ответ должен быть «9 с чем-то». Пока никаких чудес. Но классная интуиция — очевидная, как только вы ее увидите — состоит в том, чтобы посмотреть, насколько мы промахнемся, если умножим 23 на десять. Промахиваемся на десять (240 — 230 = 10). Итак, если бы мы вместо этого умножили 24 на 9, то получили бы короткую позицию на 14. Ответ: 9 + 14/24.

Вы бы не использовали эту технику каждый раз, но время от времени информация просто попадает вам в руки, потому что вы пытаетесь угадать целую часть деления, и ваша догадка «просто выходит за пределы» меньше, чем на делитель.

На самом деле, если вы промахнулись еще больше, трюк все еще доступен для вас, хотя и не так быстро. Предположим, что для 620 на 33 вы пытаетесь 20. Вы получаете 660, так что вы видите, что вы превысили свой множитель на два, и ответ должен быть «18 с чем-то». Поскольку 660 минус 33 равно 627, умножение 33 на 19 даст превышение на 7. Таким образом, умножение 33 на 18 даст меньше результата на 33 минус 7, что равно 26. Это дает ответ 18 + 26/33.

Проверка на делимость
Ранее мы рассмотрели прием, позволяющий проверить, делится ли число на 3.Вот похожие приемы, которые предлагает Артур для проверки делимости на другие числа.

• Признак делимости на 4. Проверьте, делятся ли две последние цифры на 4. (Поскольку 4 x 25 равно 100, мы можем не принимать во внимание цифры слева от последних двух.) Если вам сразу не ясно, является ли число 66 делится на 4, сначала разделите его на 2: вы получите нечетное число, так что это не сработает.

• Признак делимости на 8. Проверьте, делятся ли последние три цифры на 8. (Поскольку 8 x 125 равно 1000, мы можем игнорировать цифры слева от последних трех.)

• Делимость на 9. Проверьте, делится ли сумма цифр на 9. Например, 123 не делится на 9 (сумма цифр 6), а 126 (сумма цифр 9). Чтобы понять, почему это работает, прочитайте мою страницу о том, почему работает метод «выбрасывания девяток».

• Признак делимости на 6. Проверить делимость на 2 и на 3. Ну…

• Признак делимости на 11. Поочередно складывать и вычитать цифры справа налево. Игнорируя отрицательный знак, если результат равен нулю или кратен 11, то исходное число делится на 11.Например, для 7 415 вычислите 5 — 1 + 4 — 7, что даст -7, что не работает (7 не кратно 11). Для 9 273 вы вычисляете 3 — 7 + 2 — 9, что равно -11, что работает, а 9 273 действительно равно одиннадцати, умноженным на 843.

• Делимость на другие нечетные числа. Я люблю эту технику. Допустим, вы хотите узнать, делится ли 96 843 на 7. Добавляйте или вычитайте кратные 7, пока не получите ноль в конце (добавление или удаление семерок, очевидно, не повлияет на делимость числа на семь). В этом случае мы можем добавить 7, чтобы получить 96 850.Вы можете убрать ноль, потому что деление на десять (то есть на 2 и на 5) не влияет на то, является ли 7 множителем этого числа. Итак, у нас осталось 968. Делится ли на 7? Продолжайте добавлять или удалять семерки, чтобы получить нули. Здесь вы можете добавить 42, получив 1010, или, что проще, удалить 28, получив 940. Удалите ноль. 94 делится на 7? Удалите 14, что даст 80. Удалите ноль. Восемь не делится на 7, следовательно, и 96 843 не делится.

Давайте воспользуемся этой техникой, чтобы узнать, делится ли 773 на 17. Прибавьте 17: 790.Убрать ноль. 79 не делится на 17 (слишком близко к 68), поэтому и 773 не делится.

Разные приближения
Вот некоторые идеи, которые упоминает Артур.

• Используйте известные дроби. Например, если вам нужно взять 7¾% от суммы, вы можете заметить, что эта доля близка к семи на девять (7,77… повторяется). Это дает вам быстрое приближение (умножение на 7, деление на 9, деление на сто), что особенно удобно, если вы живете в штате, где налог с продаж составляет 7¾%, например, в Калифорнии в старые добрые времена.

• Правило 70. Это интересная идея, которую я впервые увидел в большом выступлении Эла Бартлетта под названием Арифметика, население и энергия . Я никогда не использовал его, потому что слишком привык вычислять точный ответ с помощью логарифмов, но книга Артура убедила меня запомнить этот трюк из-за его скорости. Допустим, некоторая сумма (например, население или сумма денег) растет со скоростью i% в год. Через сколько лет удвоится? Разделив 70 на i, вы получите хорошее приближение.y = 2. Следовательно, y.log(1+i%) = log(2) и y = log(2)/log(1+i%). Для i% = 7% мы получаем y = log(2)/log(1,07) = 10,24.

• Правило 110. Это та же идея, что и правило 70, но оно используется для оценки того, сколько времени потребуется, чтобы сумма, начисленная по определенной ставке, утроилась. Например, сумма, увеличивающаяся на 7% в год, утроится примерно через 16 лет (110/7 = 15,71). Чтобы получить точный ответ, вычислите log(3)/log(1,07) = 16,23.

Хранение цифр на руках во время вычислений
Хранение 90 394 цифр 90 395 на руке… Это странное выражение, но, как указывает Артур, цифры (один, два, три…) называются 90 394 цифрами 90 395 по той причине, что наши пальцы — это изначальная счетная машина.

Он дает трюк для запоминания цифр при выполнении многоэтапных вычислений. На ноль сомкни кулак. У вас уже есть собственный способ представления цифр от одной до пятой с помощью пальцев. (Кстати, какой бы метод ни использовали окружающие вас люди, это культурная традиция, и такие методы различаются в разных регионах мира.) На шесть, семь, восемь и девять коснитесь большим пальцем мизинца, безымянного пальца, среднего пальца и указателя. Палец. Используя обе руки, вы можете запомнить две цифры.

Запоминание больших чисел
Артур использует популярную (и древнюю) мнемоническую систему, называемую основной системой. Короче говоря, каждому числу присваивается согласный звук, так что числа можно закодировать в словах. Например, «Сидней просто потряс Фабио» кодирует 0123456789:
. 0 в кодировке s или z,
1 кодируется t, d или th
2 кодируется,
3 кодируется m,
4 кодируется r (как в четыре),
5 кодируется буквой L (как в римской цифре пятьдесят),
6 кодируется «влажными звуками», такими как мягкое г в «зарплате», ш в «шиш», ч в «зуд»
. 7 кодируется буквой K или жесткой буквой g в слове «go»,
. 8 кодируется f или v,
9 кодируется b или p.

Гласные ничего не кодируют. Обратите внимание, что система фонетическая: правописание не имеет значения. Например, «зуд» кодирует только 1 (т является частью звука тч), а «гараж» кодирует 746, так как два gs произносятся по-разному.

Для телефонных номеров этот прием отлично работает, особенно если вы найдете забавные никнеймы для кодирования номеров. Например, как вы можете забыть «большого лица Джима» (у которого не самое маленькое лицо) или «афродиту, укрепленную стеной» (у которой есть хорошая история о стене)?

Артур говорит, что использует эту технику для запоминания промежуточных результатов в середине долгих вычислений.Если вы планируете использовать систему таким образом, то имеет смысл выучить словарь для чисел от 00 до 99 (или даже от 000 до 999), чтобы слова были легко доступны вам, когда они вам понадобятся.

Вот несколько кодировок, которые я придумал, которые могут вам понравиться:

Квадратный корень из 2: Авторитарный снос, устав Микки Мауса.

Квадратный корень из 3: Житель Токио докучает физическому повару.

Первые десятичные знаки числа Пи: Возвращайтесь скорее, я собираюсь опубликовать свое замечательное стихотворение для первых 100 десятичных знаков числа Пи.

Бесплатная программа 2Know может помочь вам кодировать числа. Этот основной онлайн-кодер системы также приличный.

Техники, которые я вряд ли буду использовать

Вот несколько приемов, которые упоминает Артур и которые я, вероятно, не буду использовать, либо потому, что они требуют запоминания определенных операций, либо потому, что я выполняю операцию так редко, что не запомню ее. Чтобы узнать подробности, вы обязательно захотите прочитать книгу.

Обнаружение ошибок путем исключения девяток и одиннадцати
Эти два метода (ни один из них не является абсолютно точным) используются для обнаружения ошибок в результатах ваших вычислений.Они могут сказать вам, что есть ошибка, но они не могут сказать вам, что ошибки нет.

Мы изучили метод «выбрасывания девяток» в начальной школе, но точный метод вскоре ускользнул из моей памяти, и я сомневаюсь, что начну использовать какой-либо метод в столь поздний период.

Выпадение девяток (или одиннадцати) может выглядеть как магия, но понять, почему это работает, очень просто. Если вам интересно, посмотрите мою страницу, объясняющую, как и почему работает разбрасывание девяток. Здесь я просто резюмирую метод.

• Выбрасывание девяток. Для каждого числа, над которым предстоит работать, сложите все цифры, пока они не сократятся до одной цифры. Например, 859 дает вам 4 (8 + 5 + 9 = 22, а 2 + 2 = 4). Это называется модульной суммой, и это число по модулю 9 (остаток от деления на девять). Также вычислите мод-сумму для результата операции. Теперь выполните ту же операцию (сложение, вычитание или умножение) над суммами по модулю, что и над исходными числами. (Для деления нужно оформить тест особым образом: см. раздел о делении на моей странице об отбрасывании девяток и отбрасывании одиннадцати.) Результат должен соответствовать третьей модальной сумме. Например, для 859 x 17, если вы получите 14 623, вы знаете, что допустили ошибку, потому что сумма модов 859 равна 4, сумма модов 17 равна 8, произведение равно 32, что дает сумму модов 5. — тогда как модальная сумма 14 623 равна 7.

• Отбрасывание одиннадцати. Это дает число по модулю одиннадцать (остаток от деления на одиннадцать). Вы используете его как метод mod 9. Это означает, что когда вы складываете, вычитаете или умножаете модули, их модуль должен упрощаться до модуля результата операции.Чтобы произвести число по модулю 11, вы поочередно складываете и вычитаете все его цифры, начиная с самой правой цифры и двигаясь влево. Если у вас получится отрицательное число, добавьте 11. Например, для 958 вы получите 9 — 5 + 8 = 12, тогда 2 — 1 = 1. И действительно, 957 равно 11 x 87, поэтому 958 больше 11 имеет остаток. of 1.

Если модули совпадают, метод отбрасывания девяток имеет 8 шансов из 9 дать вам правильный совет («вероятно, без ошибки»). Если модули совпадают, метод отбрасывания одиннадцати имеет 10 шансов из 11 дать вам правильный совет («вероятно, без ошибки»).Если модули совпадают в обоих методах, у метода есть 98 шансов из 99 дать вам правильный совет.

Дружественные факторы
Артур приводит список «дружеских факторов», которые он предлагает запомнить, чтобы, когда придет время, вы могли упростить свои расчеты. Например, 38 х 8 = 304, поэтому, если вам нужно вычислить 38 х 24, вы можете решить пойти путем факторизации, начиная с 8 (38 х 8 = 304), а затем умножая на 3, что легко, потому что фактор» имеет ноль в середине: 304 х 3 = 912.

Это круто, но я вряд ли вспомню длинный список дружественных факторов.

Еще одно полезное использование — показать дружественный фактор путем деления большего числа: например, для 318 х 13 вы можете получить 3 х 106 х 13, что дает вам 3 х 1378 = 4134.

Точные квадратные корни
Мне нравится метод Артура для аппроксимации квадратных корней. Он также дает один для вычисления точных квадратных корней, но я не буду его использовать.

Кубирование
Мне почти никогда не нужно вычислять кубы, поэтому я никогда не вспомню об этом.2) х 18 = 5832.

Фокусы

Артур представляет ряд «фокусов». Для кого-то это может быть увлекательно, а для «волшебника» — развлечение, но меня это совершенно не интересует. Почему нет?

Рассмотрим эту карикатуру на трюк. Задумайте любое число от одного до ста. Добавьте два. Вычтите свое число. Теперь дайте угадаю… результат два… верно?

Для меня большинство фокусов с числами являются вариациями этого псевдо-трюка. Если есть уловка, значит есть алгоритм — я не знаю какой именно, но этого достаточно, чтобы потерять интерес.Просто вопрос того, что заводит или выключает разных людей.

При этом трюки Артура очень эффективны для аудитории, так что если вы умеете зрелищно и любите такое взаимодействие с людьми, то эта часть книги вам очень понравится. Я больше одиночка.

Тем не менее, один трюк мне очень понравился: вот он.

Мгновенный кубический корень
Это сверхбыстрый метод объявления кубического корня из секретного двузначного числа, которое было возведено в куб.Для этого нужно знать первые десять кубиков: 1→1, 2→8, 3→27, 4→64, 5→125, 6→216, 7→343, 8→512, 9→729, 10→ 1000.

Все эти кубики оканчиваются на разные цифры от нуля до десяти, и это отношение один к одному является отличной подсказкой, поскольку оно сообщает вам последнюю цифру двузначного числа, которое вы возвели в куб. Обратите внимание, что последняя цифра куба одинакова во всех случаях, кроме двух пар, 2⇔8 и 3⇔7.

Допустим, зритель объявляет, что куб равен 42 875. С самого начала вы знаете, что последняя цифра — 5, потому что 5→125.А первая цифра? Десять кубов — это тысяча, поэтому хитрость здесь в том, чтобы игнорировать все, что находится справа от запятой, и просто сосредоточиться на цифрах слева от запятой. Эти цифры (42) находятся между кубиками для 3 и для 4, поэтому первая цифра 3. Секретное число 35!

Метод Артура для извлечения квадратного корня из квадратов двузначных целых чисел не так прост, но похож на него. Вы вычисляете первую цифру, игнорируя последние две цифры квадрата и сравнивая эти одну или две цифры с первыми десятью квадратами.2=36). Чтобы решить, какое из них, вы возводите в квадрат число в середине (простой квадрат числа, оканчивающегося на пятерку) и смотрите, меньше или больше ваш квадрат.

День недели любой даты

В «волшебной» части своей книги Артур представляет известную технику определения дня недели любой даты в нашем григорианском календаре. Я не включил его в раздел о математической магии, потому что это полезная техника, которую большинство из нас, вероятно, будет использовать сотни раз, даже не демонстрируя ее на сцене.

Я придумал улучшенную версию техники, упрощенный алгоритм вычислений, который упрощает весь процесс. Я скоро представлю его на отдельной веб-странице (по одному!)

Этот ярлык, который я использую, также ускоряет вычисление дня недели, если вы используете альтернативный метод, называемый алгоритмом Судного дня.

Другие книги по ментальной математике

В этом разделе я планирую постепенно добавлять обзоры других книг о скорости счета в уме.

Укороченная математика Джерарда Келли.
Я нахожу эту книгу в основном превосходной. Тон более академичен, чем у книги Артура, что можно объяснить как годом ее издания (1969), так и тем, что опыт Артура на сцене делает его беглым ведущим.

Я не наткнулся на какой-то потрясающий трюк, но мне понравилось, что Джерард представляет много маленьких приемов, которые я также использую, приемов, в которые Артур не вдавался. Например, Джерард не торопится, чтобы описать некоторые разговоры, которые происходят в вашей голове, пока вы считаете, а также общие методы, которые сочетают вычисления в уме с ручкой и бумагой, такие как поиск простых пар (таких как 17- 13) при суммировании столбцов чисел.

Джерард показывает сложения без переноса, когда вы суммируете каждый столбец цифр независимо, а затем добавляете промежуточные суммы. Это особенно хорошо работает слева направо (написание соответствующего количества нулей), поскольку вы получаете все более точные оценки.

Для меня у Джерарда была хорошая интерпретация формулы n(n+1)/2, которую я всегда использовал для суммирования ряда последовательных цифр, начинающихся с 1. В его формуле сумма не обязательно должна начинаться с 1. Если F и L — первое и последнее число в ряду, вы берете среднее (F+L)/2, а затем умножаете на количество чисел (L+1-F).Легко!

Джерард указывает, что если вы умножаете на бумаге и в одном числе есть повторяющиеся цифры, например, как в 666 x 827, вам лучше поместить 666 в конец умножения, потому что все три прохода дадут то же число (здесь 4962), которое вы просто суммируете с соответствующими смещениями. Джерард указывает, что для чего-то вроде 248 все цифры кратны друг другу, что дает нам быстрый способ записать строки 4x и 8x, когда у нас есть строка 2x.

Я не в восторге от раздела о возведении в квадрат, где Джерард представляет различные методы возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 1, 4 или 5. Хуже того, он строит свои правила возведения в квадрат, чтобы предоставить еще больше методов для умножения соседних чисел, путая методы для действительно помните по сравнению с одним простым методом поблизости, описанным здесь.

Чтобы умножить на 45, Джерард предлагает умножить на 50 и вычесть десять процентов — метод, который я часто использовал при конвертации валют.Чтобы привести другой пример, чтобы умножить на 396, после умножения на 400, вместо четырехкратного вычитания числа, вы можете просто отнять один процент. Еще один прекрасный пример: чтобы умножить 24 на 27,5, обратите внимание, что 27,5 — это 25 плюс десять процентов. Умножить 24 на 25 несложно (25 — это четверть, умноженная на 100, поэтому 24/6 = 6 х 100 = 600). Добавьте десять процентов: 660.

В общем, для тех, кто плохо знаком с этой темой или очень интересуется ею, было бы обидно пропустить эту книгу. Я настоятельно рекомендую получить его в качестве дополнения к книге Артура.

Speed ​​Mathematics , Билл Хэндли. Сначала я думал, что эта книга мне понравится меньше, чем « Short-Cut Math » Джерарда Келли, но после того, как я дал ей шанс и прочитал ее полностью, она мне, вероятно, понравится больше, чем книга Джерарда.

Одна вещь, которая поставила меня в неправильное настроение, заключалась в том, что во введении Билл кланяется автору системы Трахтенберга, которая после беглого просмотра страницы Википедии мне не нравится, потому что содержит слишком много «местных правил».Мне нравятся техники, прочно связанные с алгеброй, которую я сразу чувствую. Тем не менее, Билл сказал, что его методы не совсем такие, как у Якоу Трахтенберга.

Еще одна вещь, которая сначала оттолкнула меня, заключалась в том, что книга казалась более простой. Некоторые главы, казалось, были посвящены не столько «быстрой арифметике», сколько простому и простому обучению арифметике, т. е. тому, как выполнить деление в большую сторону. Ценная информация, без сомнения, просто не то, что я искал, когда взял в руки книгу.

Первые семь глав являются развитием метода близлежащих объектов, который для моих целей достаточно объяснен в нескольких абзацах выше.

Но затем Билл представил прекрасную вариацию этой техники. Рассмотрим эти вкусы:
Основной вкус : 23 x 26 = 20 x (3 + 26) + 3 x 6 = 20×29 + 18 = 598
Улучшенный вкус : 23 x 86 = 20 x (3 x4 + 86 ) + 3 x 6 = 20×98 + 18 = 1978

Обратите внимание, что в рецепте единственным изменением является множитель x4, т.е. множитель двух исходных чисел, округленный до ближайших десяти.

Мне понравилось, что Билл указывает, что «ближайшие номера» вовсе не обязательно должны быть рядом. Например, для 75 х 25 вы можете использовать 5 в качестве ориентира, что даст 5 х 95 + 20 х 70 = 475 + 1400 = 1875.

Мне также понравилось, что Билл упоминает некоторые из моих любимых методов округления:
• Чтобы умножить на ¾ или 90%, часто бывает проще просто вычесть четверть или десять процентов.
• Чтобы умножить примерно на 19 и семь восьмых, умножьте на двадцать и вычтите одну восьмую.

Для аппроксимации квадратных корней Билл использует практически ту же технику, что и описанная выше. Мне нравится, как он предлагает обрабатывать числа, которые длиннее двух цифр. Допустим, вам нужен квадратный корень из 382 375. Вы начинаете с того, что разбиваете число на пары из двух цифр, начиная с конца: 38 23 75. Ваше первое приближение фокусируется только на первой группе, которая будет состоять из одной или двух цифр. Для каждой из конечных групп вы просто умножаете на десять. Это означает, что каждое приближение сначала сведется к приближению квадратного корня из двузначного числа, что не так уж и плохо… Используя более раннюю технику, 38 содержит шесть в квадрате и остаток от двух, что дает нам приближение 6 + 2/12 = 6.166 повторений. Следовательно, для нашего первого приближения к квадратному корню из 382 375 мы можем взять 616. Это неплохо, учитывая, что фактический ответ — это прикосновение к 618. Чтобы улучшить приближение, мы могли бы следовать той же методике, возводя 616 в квадрат, а затем добавляя остаток разделить на (дважды 616). Это слишком много, чтобы сделать в моей голове, но я просто дам вам знать, что это даст 618,369, неплохо, поскольку фактический ответ 618,365. Другой способ тонкой настройки приближения, алгебраически эквивалентный первому методу (который на самом деле является просто его сокращением), состоит в том, чтобы разделить 382 375 на первое приближение (616), а затем усреднить два числа.

В приложении Билл также упоминает метод аппроксимации кубических корней. Это вдохновило меня свести его к методу, который я представил выше, который алгебраически эквивалентен, но, на мой взгляд, более удобен для запоминания. Это почти тот же метод, что и для оценки квадратных корней.

Билл упоминает технику, которую я никогда не осознавал, что использую. Чтобы вычесть 3 745 из 10 000, я автоматически переключаюсь на какую-то технику дополнения, «завершая» все крайние левые цифры, чтобы они стали 9, и завершая последнюю цифру, чтобы она стала нулем: первая цифра 3 дает 6 (3 + 6 = 9). 7 дает 2, 4 дает 5, 5 дает 0, потому что 5 + 5 = 10.Ответ 6255. Если бы мы вычитали из 100 000 (лишний ноль), мы прибавляли бы 9 впереди (и действительно, 9 дополняет 0, чтобы получить 9).

Билл выполняет перекрестное умножение (которое он называет «прямой метод») слева направо, что мне кажется труднее, чем то, как это делает Артур, справа налево.

Он дает приблизительное преобразование градусов Фаренгейта в градусы Цельсия (или наоборот), которое я нахожу немного грубым: уберите 30, затем уменьшите вдвое или удвойте, а затем прибавьте 30. Я привык к C = (5/9)x(F- 32).Я запомнил, что 20°C — это 68°F (и большинство людей знают, что 0°C — это 32°F), но Билл также указывает, что 10°C — это 50°F и что каждое увеличение на 10°C — это увеличение на 18°F. Это имеет смысл из формулы (в перевернутом виде это F = 1,8 C + 32), но я никогда не тратил время на замечание, и это хорошо иметь в виду, поскольку это поможет в некоторых расчетах. Например, для 15C просто прибавьте 9 (половину от 18) к 50 (значение для 10), получив 59.

В целом, я настоятельно рекомендую эту книгу, хотя для тех, кто уже хорошо разбирается в основах арифметики, я должен был выбрать только одну, мой выбор остается книгой Артура.

Самоучка по высокоскоростной математике , Лестер Мейерс. Эта древняя книга давно вышла из печати, но я заказал подержанный экземпляр. Я слышал хорошие вещи о нем, и мне любопытно просмотреть его.

Ссылки

Сайт Arithmetic Game предлагает вам столько операций, сколько вы можете выполнить за две минуты. Вы устанавливаете диапазон чисел и типы операций.

Mathemagician: сайт Артура Бенджамина.


Ментальная арифметика: мощные и быстрые вычисления

20 марта Ментальная арифметика: мощные и быстрые вычисления

Опубликовано в 10:29 в Без рубрики от alohamindmath

Насколько легко вам было вычислить в уме, делится ли число на 4? Достаточно ли просто было конвертировать килограммы в фунты, десятичные дроби в эквиваленты дробей или конвертировать километры в мили кончиками пальцев? Все эти и многие другие расчеты были упрощены с помощью приемов и приемов ментальной арифметики

.

Ментальная арифметика для детей, несомненно, сделает обучение увлекательным.У этого есть множество преимуществ, чтобы начать с улучшения памяти, поскольку концепции помогают улучшить интеллект. Обострение их памяти за счет быстрых вычислений, которые им придется делать. Самое главное, благодаря постоянной практике ваш ребенок научится использовать оба полушария мозга, даже не подозревая об этом.

Хотите, чтобы ваш ребенок добился всего этого? Что вы можете сделать как родители?

Родители играют здесь огромную роль. Они должны работать не меньше, а иногда и усерднее, чем их дети, если они хотят, чтобы их дети пожинали плоды ментальной арифметики.Начать с правильного питания очень важно для улучшения памяти; Родители должны давать своим детям фрукты, овощи, орехи и ягоды, которые являются основным источником питательных элементов, которые служат усилителем их собственной памяти.

Во-вторых, запишите их на послешкольные занятия по счету. У Aloha Mind Math есть заслуживающий доверия курс, и он неоднократно показывал похвальные результаты со своими учениками.

Leave a Reply

Ваш адрес email не будет опубликован.